Problemas imposibles o profesores exagerados

La seducción de los problemas imposibles

Al margen de la innegable relación que existe entre las matemáticas y la física, como dos buenos amantes— el primero le aporta al segundo métodos con los que desarrollarse a plenitud—, resulta evidente que en nuestra rutina los físicos debemos abordar problemas de cálculo y análisis matemáticos. Además, con frecuencia, nos gusta intentar resolver esos denominados problemas imposibles a modo de reto o hasta como pasatiempo.

Claro que “imposible” es una palabra muy grande, además de subjetiva. Esto me hace recordar ineludiblemente un hecho real, bastante reciente. Aunque soy física teórica e imparto clases de fundamentos físicos de la ingeniería y física de primero de carrera, se dio la circunstancia de que un alumno de 1º de bachiller me enseñó un problema de matemáticas, en concreto, de geometría analítica— confieso que es mi sección favorita dentro de las matemáticas, así que no me pude resistir a echarle un vistazo—, y me dijo que su profesor lo había incluido en el examen como, textualmente: “problema imposible”.

Bien, estuve reflexionando al respecto. Lo que pretendo con esta entrada— mis respetos a todo el profesorado de educación secundaria; sé que llevan a cabo una labor imprescindible y ardua—, es realizar una crítica constructiva. Pues, resulta habitual, en mi experiencia, que algunos profesores sobredimensionen la dificultad de ciertas asignaturas y creo, en mi humilde opinión, que eso solo contribuye a desanimar al alumnado y a empujarles a la rendición antes siquiera de intentarlo, como ocurrió en este caso concreto que menciono.

Este alumno, al igual que el resto de su clase, dejó esa pregunta sin contestar. Es más, nadie trató de resolver el problema (que era para subir nota), porque el profesor les advirtió de antemano que era de una dificultar extrema. Yo lo resolví, obviamente, porque este chico me lo pidió, y cuál fue mi sorpresa, mientras lo resolvía, al valorar la dificultad del ejercicio, ya que no considero acertado calificarlo de problema. Juzguen ustedes mismos, el enunciado dice así:

Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P (6, 4) y dista 3 unidades del origen de coordenadas O (0, 0).

El problema, por decirlo de algún modo, de este ejercicio estriba en las infinitas rectas que cumplen las condiciones que expresa el enunciado, a saber, que pasen por el punto P y disten 3 unidades de O. Pero no especifica la pendiente, así que no sabemos qué otro punto, le llamaré M, de la recta dista exactamente 3 unidades de O. Así que tenemos que escoger arbitrariamente un punto M para que se verifiquen las condiciones indicadas. Lo más obvio supone escoger el punto más sencillo posible, esto es el punto donde la recta corta al eje de abscisas X, o bien, el punto donde la recta dada corta al eje de ordenadas Y. Yo escojo el punto sobre el eje X, a voluntad, de forma que sus coordenadas M (3, 0) lo sitúan justo sobre el eje de abscisas.

De este modo, tenemos dos puntos, P (6, 4) y M (3, 0), por los que pasa la recta dada, y se verifica que, efectivamente, la recta dista, en algún punto, 3 unidades del origen.

Para resolverlo, sabiendo esto, basta con dibujar los ejes de coordenadas cartesianas y fijar el punto que nos dan, P, y nuestro punto arbitrario M, y luego trazar una recta que los una. Así tenemos un segmento o vector que dista 3 unidades del origen O, y ese segmento constituye “parcialmente” la recta cuya ecuación nos están pidiendo. Si lo hemos hecho bien, el dibujo nos mostrará la solución.

Como se observa, la recta que une los dos puntos, P y M, que es un vector al que podemos denominar caprichosamente MP, se puede expresar mediante una función lineal muy sencilla: la ecuación de la recta, concretamente, la ecuación general explícita de la recta MP, a la que aún no hemos dado valores afines.

y = mx + n

Lo que falta es otorgarle esos valores afines, que cumplan los requisitos del enunciado. Lo primero que necesitamos es determinar la pendiente, m. Entonces, si tenemos dos puntos M (x₁, y₁) y P (x₂, y₂) por los que pasa la recta dada, como la pendiente m equivale al avance vertical y₂ – y₁, entre el avance horizontal x₂ – x₁, la pendiente resulta.

m = (4 – 0) / (6 – 3) = 4/3

Por último, nos falta darle valor a n, denominada ordenada en el origen. Entonces, tomamos el punto P (6, 4) dado para la recta MP, y volvemos a la ecuación general expresada en letras para sustituir los valores x, y, m conocidos:

4 = (4/3) · 6 + n

Esto es una ecuación de primer grado. A la incógnita le hemos llamado n. De modo que la resolvemos:

n = -4

Así, terminamos colocando los valores de m y n, y la ecuación general explícita de la recta que pasa por P y dista 3 unds. de O queda tal que así:

y = (4/3) x – 4

Ya está, resuelto. Ahora bien, siendo objetivos, y enmarcando este problema en su debido contexto, es decir, un examen de 1º de BACH, ¿creéis acertado calificarlo de “imposible”?

Puede que me equivoque al tratar de inculcar a mis alumnos que las matemáticas, la física y, por descontado, la química no son tan difíciles como las pintan. Claro, tienen su dificultad, pero opino que con un poco de esfuerzo, de ambición, de competitividad sana, de interés, se puede resolver una amplia gama de problemas, en sus respectivos niveles educativos. No se trata de ser más o menos listo. Y para el adjetivo “imposible”, en matemáticas, dejamos las integrales impropias, el cálculo avanzado en variable compleja o alguna función que sea continua en todos los valores reales pero no sea derivable en ningún punto. Que aun así, tienen solución, pero pueden calificarse de ejercicios complejos incluso en cursos superiores.

Pongo un ejemplo concreto, para quien le apasione las matemáticas y quiera rebanarse un poquito los sesos:

Dadas:

1. Demostrar que F(x) = f(x) + g(x) es una constante y determinarla.
2. Calcular: