Segunda ley de la física: principio de conservación de la energía

Principio de conservación de la energía, ¿apoya la hipótesis de que la energía es infinita?

Todos hemos oído alguna vez de este principio fundamental de la física: la energía ni se crea ni se destruye, solo se transforma. Se le conoce como el principio de conservación de la energía y, tal vez, solo unos pocos se pregunten qué implica y por qué es tan importante. La clave radica en la energía.

En realidad, esta es una cuestión trascendental y algo más compleja de lo que parece a simple vista. Por ejemplo, la mayoría de las personas podrían responder rápidamente a la pregunta: ¿qué es la energía?

Los más eruditos echaréis mano de una definición de diccionario, “eficacia, virtud, poder para obrar” (RAE); otros de fuentes más técnicas, “la energía es la capacidad de los cuerpos para realizar un trabajo y producir cambios en ellos mismos o en otros cuerpos” (Endesa Educa); y muchos otros trataréis de definirla por medio de enumerar aplicaciones, “sirve para poner en marcha aparatos eléctricos…”, “sirve para calentar el agua…”, y es verdad, el calor constituye un tipo de energía. Por eso estamos hablando de que la energía adopta muchas formas. Cómo física, no obstante, me interesa obviamente la segunda definición. Sin embargo, si ampliamos la perspectiva, veremos que consiste en algo más.

La respuesta nos la dan los físicos cuánticos, que estudian la materia y sus interacciones a nivel microscópico. En este mundo subatómico, los lindes entre materia y energía se desdibujan, y si pudiésemos observarlo aún más de cerca, posiblemente, veríamos diminutas cuerdas de energía pura vibrando. Algunas cerradas no sujetas a nada, otras abiertas adheridas a membranas tejidas con más cuerdas de energía. A esto se reduce toda la materia existente. De ahí que los físicos digamos que sin energía no se puede existir. Entonces, la energía no solo posibilita realizar un trabajo, sino que permite existir, a todo cuanto existe, valga la redundancia. Esto no supone una visión simplista, nada más lejos, en todo caso se podría calificar de pragmática.

Acabamos de aumentar nuestra lente— o de empequeñecernos a nosotros mismos, según se mire—, para percibir el mundo microscópico. A continuación lo haremos a la inversa. Ampliamos la visión, de nuevo, esta vez para contemplar más allá del universo conocido— recordad que estamos empleando nuestra imaginación en base a pronósticos matemáticos, no en base a pura especulación. Es significativo diferenciar esto. Hacemos caso a Einstein que dijo que “la imaginación es más importante que el conocimiento”. Él se refería a este tipo de imaginación, basada en realidades matemáticas abstractas, que no podemos ver, sino imaginar.

De modo que, los astrofísicos concuerdan en esto con los físicos cuánticos— pese a sus enfoques contrarios—, en sistemas más que macroscópicos, donde igualmente la materia y la energía infringen sus barreras, como la ecuación de Einstein (E = m·c²) pone de manifiesto. Nos trasladamos así a un lugar remoto del espacio-tiempo. Allí, nosotros— en la placidez de la soledad más absoluta— miramos hacia el futuro, en la sección del universo delimitada por el cono de la luz. Luego, a unos cien pasos astronómicos a nuestra izquierda, más o menos, observamos dos agujeros negros oscilantes en sus respectivas órbitas en espiral. Como sabéis estos dos cuerpos consisten, básicamente, en cantidades ingentes de energía. De pronto, ambos colisionan violentamente dando lugar a perturbaciones en el tejido del universo; perturbaciones cósmicas, les llaman. Entonces, vemos como del choque, parten sendas ondas gravitacionales y electromagnéticas. Estas últimas, en parte debido a que ambos agujeros negros se han fusionado en uno mayor y más masivo, y ahora contemplamos brillante un inmenso disco de acreción que atrapa la luz. Por eso, estas, las ondas electromagnéticas nos llegan primero, más veloces, porque… ¿a qué velocidad viajan? Claro, a la máxima permitida, a la de la luz, que no es otra cosa que un tipo de radiación electromagnética. En otras palabras, se desprende una cantidad inconmensurable de energía. De hecho, en toda colisión se produce energía, en mayor o menor cantidad­ (véase electricidad y efecto Joule).

Visto así, no parece muy lógico que la mayor dificultad a la que se ha enfrentado siempre el ser humano haya sido generar energía. Cuando así es, y la causa la traduce el mismo principio de conservación de la energía. No podemos crear ni destruir la energía, solo podemos transformarla. Por eso, siempre necesitamos una fuente que suministre esa energía. Es decir, con energía obtenemos más energía, esto parece una obviedad, pero además debe resultar eficiente y controlada. Porque en la naturaleza, como acabamos de ver en el ejemplo de los agujeros negros, no hay demasiada diferencia entre crear y destruir cosas, pues, ¿acaso no se creó el universo conocido mediante una gran explosión?

Todo esto nos conduce a una consecuencia lógica, y es que si consideramos al universo infinito, como sospechaba Einstein, la energía, por ende, debe ser también infinita y, por eso, no tiene principio (no se crea), ni tiene final (no se destruye). Entonces, la siguiente pregunta sería: ¿tiene sentido, como civilización, como políticos, como científicos, invertir recursos de toda clase en encontrar una fuente de energía limpia y renovable? Creo que tiene mucho sentido. Por una parte, porque la necesitamos para realizar trabajo, y por “trabajo” entendemos una amplia gama de exigencias en el desarrollo tecnológico, industrial, intelectual, etc. Y por otra, porque las leyes de la física, el lenguaje de las matemáticas y la manifestación de la naturaleza apuntan todos ellos a que existe esa fuente, y podemos utilizarla. Entenderéis ahora que aluda al principio de conservación de la energía como la segunda ley de la física, después de que todo es relativo, claro, para curarme en salud.

Dejando a un lado, de momento, las implicaciones más profundas del tema energético y derivados, eficiencia, consumo, costes, etc., regresamos al abrigo y a la estabilidad de los problemas matemáticos, y a la aplicación del principio de conservación de la energía en la rutina de los estudiantes de física, para comprender y predecir el funcionamiento de diversos fenómenos físicos.

Pues en este contexto, la conservación de la energía se convierte en el método de resolución favorito de los profesores de física, en concreto su expresión matemática, que viene a decir que la energía mecánica de un sistema resulta constante. Por eso propongo el siguiente problema, para comprobar su utilidad, en un caso que bien podría ser resuelto mediante fuerzas, aplicando la segunda ley de Newton. Sin embargo, aplicando el principio de conservación, el desarrollo queda innegablemente más elegante y más directo.

Tenemos el siguiente sistema:

Consistente en un cilindro rotante de masa M sujeto mediante una polea a un cubo de masa kM, donde k es una constante positiva de valor ¼. Partiendo del reposo el cilindro comienza a deslizarse por la rampa. Suponiendo que no existe rozamiento.

1. Determinar la aceleración del sistema.
2. Determinar la tensión de la cuerda.
3. Determinar la velocidad del centro de masas del cilindro M cuando kM ha ascendido x.

Datos del problema:

• M = 20 kg
• k = ¼
• φ = 45º
• x = 1 m
• v = ωR = velocidad lineal del cilindro que rueda sin fricción.
• I = M (R²/2) = momento de inercia del cilindro rotante

1) En primer lugar, recordad que si el problema nos facilita una serie de variables, solo podemos expresar las fórmulas que empleemos en función de esas variables, y no de otras. Sé que parece muy obvio, pero a muchos se les olvida. De hecho, por la forma del sistema, pensaréis que este problema se puede resolver aplicando las leyes de Newton, considerando las fuerzas que actúan. Es cierto. Pero en ese caso no podríamos expresar directamente las fórmulas en función de las variables conocidas. Por eso incluyo el problema en esta entrada, para resolverlo expresamente mediante el principio de conservación de la energía.

Tenemos, pues, que toda la energía mecánica del sistema resulta constante. Esto se expresa matemáticamente:

E_m = U + K = cte.

Luego, como la energía del sistema se conserva, en los límites del sistema se cumple que:

U = K

Es decir, que la energía potencial del sistema, inicialmente en reposo, equivale a la energía cinética del mismo. Si no conociésemos el valor de la constante positiva k, no podríamos saber en qué sentido se está moviendo el sistema. Por eso nos dicen que su valor es de un cuarto. Entonces, bien, cuando el cilindro se desplaza en sentido descendente por la acción de la gravedad, el cubo asciende arrastrado por la tensión de la cuerda. Así, la energía potencial equivale a:

U = Mgh – kMgx

Simplemente, la propia energía potencial del cilindro menos la del cubo. En esta ecuación tenemos una variable desconocida, la h, pero la podemos determinar en función de otras variables conocidas mediante el uso de trigonometría, cuando el cubo asciende x, el cilindro desciende h:

h = xsenφ

A continuación la energía cinética:

K = ½kMv² + ½Mv² + ½Iω²

Que resulta de la adición de las energías cinéticas de cada cuerpo. Los vectores de las velocidades lineales poseen el mismo sentido, ya que corresponden todas ellas a la velocidad con que se mueve el sistema. Teniendo en cuenta que el cilindro posee además la energía cinética de rotación.

De nuevo aquí, tenemos dos variables que no interesa expresar, la I (momento de inercia) y la ω (velocidad angular de rotación del cilindro). Así que vamos a expresar ese miembro de la igualdad en función de v y de M.

Si I = M (R²/2) y ω = v/R, la ecuación final queda:

Mgxsenφ – kMgx = ½kMv² + ½Mv₂ + ¼Mv²

Sacando factor común M y reagrupando términos:

g (senφ – k) x = (½k + ¾) v²

Ahora recordemos que el apartado 1) nos está pidiendo la aceleración del sistema. ¿Cómo transformamos la ecuación anterior en otra que exprese la aceleración? Lógicamente solo podemos relacionar la aceleración con la velocidad del sistema mediante la ecuación que, a su vez, relaciona velocidad y desplazamiento del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), y como parte del reposo:

v² = 2ax

Sustituimos esta en la ecuación anterior y despejamos a:

a = [(senφ – k)/ (k + 3/2)] g ≈ 2,56 ms^-2

2) El siguiente apartado nos pide determinar la tensión de la cuerda. Una vez conocida la aceleración, el método más rápido y directo es aplicar la segunda ley de Newton, haciendo balance de fuerzas sobre el cuerpo de masa kM.

T – kMg = kMa → T = kM (a + g) ≈ 61,8 N

3) Por último, tenemos que determinar la velocidad del centro de masas v_cm del cilindro M, cuando kM ha ascendido una distancia x. Bastaría con aplicar la fórmula del MRUA:

v = v_cm = √2ax ≈ 2,26 ms^-1

Y así resolvemos el problema aplicando el principio de conservación de la energía, la segunda ley de Newton y nociones de cinemática.

A modo de resumen, podemos concluir que para un sistema aislado, la energía total permanece cuantitativamente constante. Eso quiere decir, que resulta de la adición de las diferentes formas en que se encuentra dicha energía.

Esto explica por qué se producen pérdidas o disipación de energía en lo que conocemos como efecto Joule, cuando la electricidad viaja desde las plantas hidroeléctricas hasta nuestros hogares, por la colisión de las partículas dentro de los conductores. Aunque la electricidad requiere su propio artículo y, por tanto, no entraremos en más detalles al respecto.