Distribución lineal de carga en coordenadas cilíndricas
Vamos a calcular el campo eléctrico debido a una semicircunferencia cargada partiendo del hecho de que la figura posee una simetría cilíndrica. Puesto que la aplicación del teorema de Gauss exige tener en consideración la forma de la distribución de carga. Este problema es muy sencillo, y de esta forma se pueden resolver todos los problemas que impliquen distribución LINEAL de carga y simetría cilíndrica.
Problema resuelto: campo eléctrico debido a una semicircunferencia cargada.
Sobre una semicircunferencia se distribuye una densidad de carga lineal λ = λocosφ
a) Calcular la carga total distribuida sobre la figura.
b) Calcular el campo eléctrico en el origen de coordenadas O.
c) ¿En qué punto del eje X debe situarse la carga calculada en a) para que el campo en O sea el mismo que el obtenido en b)?
a) Lo primero que debemos hacer es sumar las cargas elementales, es decir, sumamos ldl’ desde -π/2 hasta π/2:
La carga total Q equivale al doble del producto del radio por la densidad de carga lineal en el punto de referencia.
b) Por la simetría de la figura se deduce que la componente vertical del campo Ey = 0. Así que solo tenemos que calcular la componente horizontal Ex.
Vectores de posición:
Luego, el cálculo de la integral:
c) Si queremos calcular a qué distancia sobre el eje X debemos colocar una Q = 2λoR que produzca el mismo E que en el origen O, lo que hay que hacer es igualar el campo que crea dicha carga Q en el punto de coordenada x con el campo obtenido en el apartado b. Esto sería tal que:
La regla de Barrow 