Problema del cable coaxial

Problema resuelto de electromagnetismo: el cable coaxial

Nos ubicamos en el tema electromagnetismo, que se estudia normalmente en la asignatura Física II del primer curso de la mayoría de las ingenierías. También se estudia como asignatura independiente en la carrera de Física. Así que voy a proponer y, seguidamente, a resolver, un problema-tipo muy conocido, que también podemos encontrarlo con diferente nomenclatura y con los signos de la intensidad cambiados. Pero básicamente el enunciado siempre pide lo mismo.

A modo de resumen teórico, recordaremos que cuando tenemos una intensidad de corriente, lo que tenemos en realidad es infinidad de “cargas puntuales” en movimiento, lo que llamamos portadores de carga. En esto consiste esencialmente la electricidad, conocida en física como intensidad de corriente eléctrica, en una densidad de electrones que se desplazan en el sentido opuesto al flujo de esa intensidad de corriente, pues esta resulta del vacío que dejan dichos electrones a una velocidad de desplazamiento v_d.

Pues bien, si estas cargas permanecieran estáticas, no hablaríamos de intensidad de corriente, sino de una distribución de carga, ya fuera lineal, superficial o volumétrica (en el caso de un sistema semejante a un conductor se trataría de una distribución volumétrica de carga), y nos encontraríamos analizando el tema de la electrostática. Cuando estas cargas se mueven, además de originar lo que comúnmente se conoce como electricidad, también se crea un campo magnético inducido por dicha carga total móvil Q. Nos hallamos entonces en un caso particular del electromagnetismo. Con esta premisa iniciamos el análisis del problema.

En la figura se muestra la sección transversal de un conductor coaxial. Considerando que las intensidades I₁ e I₂  son constantes y tienen el mismo valor, pero circulan en sentidos contrarios, como se indica, y que la separación entre conductores equivale a R₂ – R₁ y que la densidad de corriente es uniforme. Calcula el campo magnético y la intensidad correspondiente al tercer conductor.

Tenemos cuatro intervalos a estudiar. 1) Para un radio menor que el primer conductor. 2) Para un radio entre el primer y el segundo conductor. 3) Para un radio entre el segundo y el tercer conductor. 4) Para un radio superior al tercer conductor.

1º INTERVALO [r < R₁]

Por la simetría del campo magnético, la curva de circulación magnética tiene radio r:

∫ B dl = B ∫ dl = B2πr

Según el teorema de Ampère:

B2πr = μ_oI_c1

donde I_c1 es la corriente encerrada en la curva C₁ y es uniforme.

Calculamos la corriente encerrada en la curva C₁:

I_c1 = ∫ J dS = J ∫ dS = JS

J = vector densidad de corriente eléctrica, constante.

Luego, despejando la densidad de corriente J, de la integral de superficie I_c1 = JS con los respectivos valores de esas superficies:

J = (I/πR₁²) = (I_c1/πr²) = cte.

El denominador del primer miembro corresponde al segmento de conductor de radio R₁ y el denominador del segundo al área encerrada por la curva C_1.

Despejamos la corriente que circula por la curva C₁:

I_c1 = (πr²/πR₁²) I

Sustituyendo el valor de I_c1 en el teorema de Ampère:

B = (μ_or/2πR₁²) I

2º INTERVALO [R₁ < r < R₂]

Ley de Ampère:

B2πr = μ_oI

Se deduce rápidamente el valor de B para este intervalo, ya que es como si tuviéramos un único conductor cilíndrico y toda la corriente se concentrara en su eje:

B = (μ_oI/2πr)

3º INTERVALO [R₂ < r < R₃]

Aplicamos de nuevo la ley de Ampère para una curva C₂ que encierra una corriente I_c2:

B2πr = μ_oI_c2

donde I_c2 es la corriente encerrada en la curva C₂ y es uniforme.

Esa corriente encerrada en la curva C₂ tiene que cumplir que:

I_c2 = I – I₃

teniendo en cuenta que I = I₁ = I₂ como indicaba el enunciado, luego I₃ < I, donde I₃ corresponde a la corriente encerrada en el conductor exterior de radio R_3.

Operando análogamente al primer intervalo y despejando I₃:

I₃ = [π(r² – R₂²)]/[π(R₃² – R₂²)] I

Sustituimos el valor de I₃ en la fórmula que cumple I_c2 = I – I₃:

I_c2 = I [1 – (r² – R₂²)/(R₃² – R₂²)] = (R₃² – r²/R₃² – R₂²) I

Por lo tanto, sustituyendo esta corriente encerrada en la curva C₂ de nuevo en la ley de Ampère obtenemos el campo B en este intervalo:

B = (μ_o/2πr)(R₃² – r²/R₃² – R₂²) I

4º INTERVALO [r > R₃]

La inducción magnética B(r) en este intervalo es nula, porque la corriente total encerrada en la curva de radio r es nula, puesto que I₁ = I₂:

B = 0